A 29.
- EGYBEN ELSÕ NEMZETKÖZI -

ORTVAY RUDOLF

FIZIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ VERSENY
FELADATAI
1998

Az ELTE TTK Fizikus Diákköre és a Magyar Fizikus Hallgatók Egyesülete 1998-ban is meghirdeti a hagyományos, immár 29-ik, ezúttal elsõ ízben nemzetközi Ortvay Rudolf Fizikai Feladatmegoldó Versenyt.

Idõpont: 1998. október 30 - november 9.

Az Ortvay verseny régi hagyomány az Eötvös Loránd Tudományegyetemen. A hajdani versenyzõk közül sokan már híres tudósok, egyetemi professzorok - annak idején az Ortvay-feladatok megoldása során mutatták meg oroszlánkörmeiket.

A verseny 1998-ban elõször - de reméljük, nem utoljára - nemzetközi lesz. Elõzetes propagandánk hatására máris több mint húsz országból érkeztek érdeklõdõ levelek. Igy alkalom adódik arra, hogy a különbözõ országok és különbözõ egyetemek hallgatói összémérhessék tudásukat, ötleteiket, feladatmegoldó képességüket és a rutinon túlmutató, a feladatok mélyére hatoló fizikai érzéküket. Bár a díjazás egyéni, egy ilyen széles körû verseny egyben az anyaintézmények, a versenyzõk tudását és képességeit csiszoló egyetemek vetélkedése is.

Az Ortvay versenyen minden egyetemi hallgató indulhat - az értékelés és a díjazás évfolyamonként történik. A doktoranduszok külön kategóriát alkotnak. A verseny egyéni: páros vagy csoportosan írt dolgozatokat nem fogadunk el. Kérjük megadni a versenyzõ egyetemét, szakát és évfolyamát. Álnév vagy jelszó nem használható, minden versenyzõ valódi néven indul.

A feladatok 1998. október 30-án, pénteken, közép-európai idõ szerint 12 órától magyar és angol nyelven, html és L^ATEX formátumban letölthetõk az Ortvay-verseny weblapjáról

http://ludens.elte.hu/ortvay.

A dgy@ludens.elte.hu e-mail címre megküldött elõzetes kérésre e-mailen is postázzuk a feladatokat. Budapesten emellett a feladatok - ugyanettõl az idõponttól - nyomtatott formában is átvehetõk a Gólyavárban (H-1088 Budapest, Múzeum krt. 6-8.) és az ELTE Lágymányosi Fizika-Kémia tömbjének (H-1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A) földszinti társalgójában. A Gólyavárban, a Hallgatói Irodában a késõbbiekben egy mesterpéldány áll a fénymásolni kivánók rendelkezésére.

A BME-n, a JATE-n, a KLTE-n és számos külföldi egyetemen helyi szervezõk intézik a feladatok sokszorosítását és kiosztását.

Figyelem! A szervezõk minden igyekezete ellenére is elõfordulhat, hogy egy-egy értelemzavaró fogalmazási vagy gépelési hiba marad a feladatok szövegében. Érdemes ezért a továbbiakban is figyelni a fenti weblapot, illetve a gólyavári és lágymányosi hirdetõtáblát, ahol az esetleges javításokat, módosításokat azonnal közzétesszük.

A verseny feladatai az elméleti fizika különbözõ területeirõl és a fizika alkalmazásai körébõl származnak. Egy évben általában 30 - 35 feladatot tûzünk ki. Ezek különbözõ nehézségi fokúak, de minden hallgató találhat évfolyamának megfelelõ feladatokat. Egy versenyzõ maximálisan 10 feladat megoldását adhatja be. Minden feladat megoldására maximálisan 100 pontot lehet kapni.

A feladatok megoldásához bármilyen segédeszköz használható. Könyvre, folyóiratcikkre hivatkozni lehet.

Minden feladat megoldását külön A4-es lap(ok)ra kérjük leírni. Egy lapnak csak az egyik oldalára írjunk vagy nyomtassunk! Ne írjunk ceruzával vagy vékony másolópapírra - ezeket nem tudjuk elfaxolni a megoldások javítóinak. Az ilyen dolgozatokat nem fogadjuk el.

Ha a megoldáshoz számítógépes program is tartozik, kérjük írásban megadni a program részletes dokumentációját (milyen nyelven írodott, hogyan lehet elindítani, milyen paramétereket lehet beállítani, melyik betû mit jelent, hogyan kell a program készítette ábrákat vagy táblázatokat értelmezni, stb.) A programokat floppylemezen lehet mellékelni, vagy e-mailen lehet elküldeni az alább megadott címre.

A megoldásokat személyesen, postán, faxon vagy e-mailen (L^ATEX formátumban, vagy, ha nincsenek benne képletek, közönséges elektronikus levélben) lehet beküldeni.

Személyesen a HALI-1-ben vagy a Lágymányosi Északi több földszintjén
Postacím: Fizikus Diákkör, Dávid Gyula,
ELTE TTK Hallgatói Iroda, Gólyavár, H-1088 Budapest, Múzeum krt. 6-8.
Faxszám: Dávid Gyula, 36/1/2662556
E-mail cím: dgy@ludens.elte.hu.

Beadási határidõ: november 9. hétfõ, közép-európai idõ szerint 12 óra.

A verseny díjazása évfolyamonként történik, az összpontszám alapján. A zsüri fenntartja a jogot, hogy egyes díjakat ne, megosztva vagy több példányban adjon ki. A pénzjutalommal járó elsõ, második és harmadik díjak mellett dicséretek, illetve egyes feladatok kivaló megoldásáért különdíjak is odaítélhetõk. Ezért már egy-két feladat megoldását is érdemes beadni!

A verseny hagyományos szponzorai az ELTE TTK Hallgatói Alapítványa és az Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Emellett idén régi mecénásunk, Diósi Lajos 20 000 Ft különdíjat ajánlott fel. A legjobb eredményt elérõ szegedi versenyzõt a Pro Physica Hallgatói Alapítvány 5000 Ft különdíjjal jutalmazza. Köszönjük az eddigi támogatásokat - és köszönettel fogadjuk a továbbiakat is.

A verseny eredményhirdetése december 10-én lesz, a hagyományos Fizikus Mikulással egybekötve. A pontos helyszínt késõbb közöljük a verseny weblapján. Az ünnepélyes eredményhirdetést a feladatok megoldásának megvitatása követi. Az egyes feladatok legjobb megoldóit ezennel elõre felkérjük, hogy ismertessék megoldásaikat. (A verseny egész Földre kiterjedt volta ellenére ez a felkérés értelemszerûen csak a hazai versenyzõkre vonatkozik.) A részletes eredmény ezután megtekinthetõ lesz a verseny weblapján. A díjazott versenyzõket e-mailben értesítjük, az okleveleket és a pénzjutalmakat postán küldjük el.

A verseny feladatait és megoldásaikat - az egyes feladatok legjobb megoldóinak szövegezésében (melyre õket ezennel felkérjük) - angol nyelvû kiadványban szeretnénk megjelentetni. Ezt a kiadványt a fizikushallgatók nemzetközi szervezete, az IAPS, valamint a verseny résztvevõi segítségével világszerte terjeszteni kívánjuk. Reméljük, ez még jobban hozzájárul a verseny nemzetközivé válásához.

Sikeres versenyzést, tartalmas és hasznos fejtörést kívánunk minden versenyzõnek!

A verseny szervezõi nevében

Dávid Gyula
ELTE TTK Fizikus Diákkör
dgy@ludens.elte.hu

1.

A bor erjedéssel készül a szõlõbõl. Ennek során hõ keletkezik.
a) Hány fokosra melegszik fel egy 500 literes hordó a különféle borfajták esetén?
b) Melyek a legfontosabb paraméterek, amik meghatározzák ezt a hõmérsékletet?
c) Az erjesztõ baktériumok egy bizonyos hõmérséklet felett elpusztulnak. Legfeljebb mekkora méretû lehet az a hordó, amiben mindenütt forrásban marad a must? Hogyan függ ez a méret a külsõ hõmérséklettõl?

(Horváth Anna)

2.

Ha két párhuzamosan állított tükör közé nézünk, képek végtelennnek tûnõ sorozatát látjuk. A tükör véges mérete miatt azonban csak véges számú kép látható.
a) Hogyan függ a látható képek száma a tükör méretétõl, alakjától?
b) Vizsgáljunk több különféle módszert, amivel a párhuzamos tükrökben látható képeket megfigyelhetjük! (Csak kísérletileg megvalósítható eseteket diszkutáljunk!)

(Horváth Anna)

3.

Téli reggeleken az autók ablaka sokszor csak a Nap felõli oldalon van befagyva. Miért? Adjunk kvantitatív magyarázatot!

(Bene Gyula)

4.

A feladat szövege 2 mondattal bõvült!
Egy faltól a távolságban elhelyezett csuklós talpon rögzítjük egy l > a hosszúságú seprûnyél alsó végét.

A nyél felsõ vége a falnak támaszkodik. Döntsük most kissé oldalt a seprûnyelet: a súrlódás következtében egy ideig még egyensúlyban maradhat. Mekkora az a kritikus szög, amelynél már megcsúszik a seprûnyél?

(Gnädig Péter)

5.

Adott méretû, $\lambda$ és $\mu$ rugalmassági állandókkal jellemezhetõ téglákból tornyot építünk. Milyen magas torony áll még stabilan?

(Tichy Géza)

6.

Rugalmasságtanban az u_i elmozdulásvektorból származtatott $\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_i u_j + \partial_j u_i)$ deformációs tenzorra érvényes az alábbi kompatibilítási feltétel (a képletben $\epsilon_{ijk}$ a Levi-Civita-féle teljesen antiszimmetrikus egységtenzort jelöli):

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmp}\partial_j \partial_m \varepsilon_{kp}=0.$$

Állítsuk elõ a deformációs tenzorból az elmozdulásvektort!

(Tichy Géza)

7.

A hallás finomságát meghatározó egyik mechanikai tényezõ a dobhártya alakja. Magyarázzuk meg, miért alkalmasabb a szabályos alakú (kör, ellipszis) dobhártya a finom hallásra, mint a szabálytalan! (Megjegyzés: a hallás finomságán azt értjük, hogy mennyire képes valaki megkülönböztetni két, egymáshoz közeli frekvenciájú hangot).

(Horváth Anna)

8.

Az emberi vér nem képes arra, hogy fizikailag oldott állapotban elegendõ mennyiségû oxigént szállítson. Ezért is vannak vörösvértestjeink (VVT), melyek ezt a feladatot el tudják végezni. De vajon mennyibe is "kerülhet" ez nekünk? Mennyi plusz energiát fordít a VVT-k szállítására egy átlagos napján egy átlagos ember ahhoz a hipotetikus esethez képest, amikor - ugyanakkora össztérfogatú vér mellett - nem lenne szüksége VVT-kre?

Néhány figyelembe veendõ szempont: a VVT-ket át kell tuszkolni a kapillárisokon (hiszen azok átmérõje kisebb, mint a VVT-ké); a vér gyorsabban áramlik, mint a VVT-k; a VVT és a vér sûrûsége eltérõ, így a nehézségi erõ miatt többletenergia szükséges a VVT mozgatásához.

(Nagy György)

9.

Egy kirándulás alkalmával elkapott minket az esõ. Egy útbaesõ pince eresze alól nézegettük a reménytelen idõt és az eresz alján össze-összegyülõ vízcseppeket, amelyek növekedvén elindultak az eresz alján a lefolyó felé, de útközben meghízva lecsöppentek. Vizsgáljuk meg a csepp kialakulásához vezetõ instabilitást! Adjuk meg a csepp hely-idõ függvényét a lecsöppenés helyéig! Utolérhet-e egy csepp egy másikat?

(Török János)

10.

Egy pipettát tartunk függõlegesen, szájával lefelé. A pipettából folyadék áramlik ki állandó sebességgel. Milyen feltételek mellett alakulnak ki cseppek a pipetta szájánál? Ha teljesülnek ezek a feltételek, akkor határozzuk meg a cseppek alakját az idõ függvényében!

(Zénó Farkas)

11.

Ha függõleges (üveg)csõbe száraz homokot töltünk, a lefelé áramló anyagban sûrûséghullámok indulnak el fölfelé. (Érdemes kipróbálni!) A jelenség hasonlít a közlekedési torlódások terjedéséhez. Mi a magyarázata? Mitõl függ a hullámok sebessége?

(Kertész János)

12.

L. Niven Gyûrûvilág címû fantasztikus regényében - egyéb érdekes technikai ötletek mellett - említés történik a következõ szerkezetrõl is: egy csillag körüli kör mentén egyenletes térközökben körpályára állítanak igen nagy számú egyforma mesterséges bolygót. Az objektumokat a kör mentén nyújthatatlan lánccal kötik össze, majd a rendszert rakétákkal felpörgetik az adott sugárhoz tartozó orbitális szögsebesség többszörösére. (Hogy mire jó ez az egész, az kiderül a regénybõl.)

Vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását, és határozzuk meg a kör mentén terjedõ hullámok diszperziós relációját longitudinális, radiális, illetve a pálya síkjára merõleges perturbációk esetén!

(Dávid Gyula)

13.

Két egyforma szigetelõ korongot azonos mennyiségû pozitív töltéssel látunk el. Közelítsük egymáshoz a két párhuzamos korongot! Mekkora erõ kell ehhez? Vázoljuk fel a két korong között kialakuló elektromos teret!

(Radnai Gyula - Gnädig Péter)

14.

Milyen alakúra hajlítsunk össze egy adott szigetelt rézhuzalt, hogy a lehetõ legnagyobb legyen az induktívitása? Legyen az l= 5 m hosszú homogén rézhuzal keresztmetszete r= 0,4 mm sugarú kör, a rajta lévõ szigetelõ réteg vastagsága s= 0,1 mm. Mekkora lesz ennek a szigetelt huzalnak a maximális induktívitása? (Ferromágneses anyag nincs a közelben.)

Bemelegítésül határozzuk meg e huzalból hajlított kör, illetve négyzet alakú hurok induktívitásának arányát!

(Radnai Gyula)

15.

Tegyük fel, hogy az elektromágneses négyespotenciál (Aⁱ) és a negyesáram-sûrûség (jⁱ) komponensei nem valós, hanem a) komplex; b) kvaternió értékeket vehetnek fel! Konstruáljuk meg a Lorentz-invariáns valós hatásintegrált, és vezessük le a téregyenleteket! "Fordítsuk le" a hiper-Maxwell-egyenleteket valós hármasvektor-mezõkre felírt parciális differenciálegyenlet-rendszerre, és keressünk meg néhány érdekes megoldást (ötletek: síkhullám, monopólus, Green-függvény)! Milyen új, a szokásos elméletben nem szereplõ szimmetriái vannak az új elméletnek? Melyek a megfelelõ megmaradási tételek? Milyen valóságos jelenségek modellezésére lehetne felhasználni ezt a (hiper)komplex elektrodinamikát? Egeszítsük ki a hatásintegrált tömegtaggal is, és vizsgáljuk meg ennek következményeit!

(Dávid Gyula)

16.

Az elsõ, és egyben utolsó Forma-42 fotonrakéta-versenyt 2442-ben rendezték meg a vadregényes Minkowski-téren, mindjárt a Tejút legszélsõ spirálkarjain túl, kint a nagy semmiben. Itt kellett tartani a versenyt, mert az ÛrKRESZ meglehetõsen szigorú: rendelkezései szerint a fotonrakéták semmilyen körülmények között sem közelíthetik meg egymást 1000 km-nél jobban. Szükség volt tehát a helyre! A Forma-42 versenyen részt vevõ rakéták 1 km hosszú, 10 m átmérõjû forgásellipszoidok. (A hatalmas test 42 évnyi szakadatlan üzemre elegendõ anamezont, az antianyagnál is hatékonyabb üzemanyagot rejt magában.) Az orrukon és tatjukon elhelyezett pozíciójelzõ lámpák a Hajózási Szabályzatnak megfelelõen másodpercenként bocsátanak ki egy zöld, illetve vörös fényjelet. Bernie Ecclestar, a fõszervezõ a sportszerûség érdekében úgy rendelkezett, hogy valamennyi versenyzõ ûrhajóját egyforma hajtómûvel szereljék fel (de ezt persze nem kötötték a közönség orrára). Ez a "Mintha otthon lennél" típusú fotonmotor pontosan 1 g-nyi sajátgyorsulást szolgáltat az ûrhajónak, így a pilóta valóban úgy érzi magát, mintha otthon ülne (a játékteremben). Sajnálatos mûszaki hibák miatt a 42 indulóból negyvennek vissza kellett lépnie. A megmaradt két rakéta versenye kissé unalmasra sikeredett: mintegy százezer km távolságban egymás mellett lebegve egyszerre indultak el a startvonalra merõleges irányba, aztán - lévén tökéletesen egyforma szerkezetûek - egymással párhuzamosan, végig egyenes vonalban és azonos gyorsulással futva, a tökéletes szimmetria jegyében döntetlen eredményt értek el. A nézõközönség persze nem sokat látott az elszáguldó rakétákból - még szerencse, hogy a konkurrens tv-társaságok kamerákat és robottudósítókat helyeztek el az egyik, illetve másik rakéta fedélzetén. Az automata kamerák a másik versenyzõ rakétára irányultak - mi mást is nézhettek volna? -, a robotriporterek pedig izgatottan követték a kamera tartószerkezetének akármilyen csekély elfordulását is, mert ebbõl (meg persze a másik rakéta látszó szögátmérõjének és orientációjának változásából) próbáltak következtetni a verseny pillanatnyi állására. Így aztán elég izgalmas virtuális verseny kerekedett ki a tv-képernyökön. Amikor aztán a második futam során az egyik rakéta a startnál udvariasan százezer km elõnyt adott a másiknak, és így pontosan egyszerre indulva, pontosan egymás nyomában futották végig a nyílegyenes kozmikus pályát, a két ûrhajó fedélzetén tartózkodó robotriporterek valóságos extázisba esve közvetítették a kameráik által látott, meglehetõsen furcsa versenyt.

Számítsuk ki/írjuk le/rajzoljuk le, mit láttak a kamerák az elsõ futam alatt, majd a második futamban az elöl, illetve a hátul haladó ûrhajóból nézve! Hogy változott a másik rakéta távolsága, iránya, orientációja, szögmérete, jelzõfényeinek színe, fényessége? Pótkérdés: hogyan, mikor és miért ért véget a verseny?

(Dávid Gyula)

17.

A Forma-42 versenyen részt vevõ két rakéta pilótái elhatározzák, hogy megvizsgálják Einstein híres régi paradoxonját a (kilo)méterrudak rövidülésérõl. Ezért a két, egymás mögött lebegõ ûrhajót összekötik egy 1 km hosszú rúddal. Egy elõre rögzített pillanatban egyszerre bekapcsolják mindkét rakéta hajtómûvét, majd 1 másodpercnyi mûködés után kikapcsolják. (A gyorsítás iránya a rúd által meghatározott egyenesbe esik.) A pilóták jártak a tudományos óvódába, ezért tudják, hogy a relativitáselmélet szerint merev test nem létezik, és a két végét ért erõhatás következtében a rúdban longitudinális rugalmas hullámok keletkeznek. Ezt figyelembe veendõ már jó elõre megvizsgálták a rúd rugalmas tulajdonságait, és megmérték a csillapodó longitudinális hullámokra vonatkozó telegráfegyenlet együtthatóit. Ezért bíznak benne, hogy a hullámok szép lassan lecsillapodnak, és a rúd végül nyugalmi állapotba kerül a két rakéta új inerciarendszerében. Kövessük a hullámok terjedését a gyorsítás szakaszában, illetve a hajtómûvek kikapcsolása után, és határozzuk meg a rúd hosszát a végállapotban! Mit szól ehhez Einstein professzor?

(Dávid Gyula)

18.

A Forma-42 versenyen részt vett fotonrakéták egyike ezúttal (még bõségesebb, gyakorlatilag korlátlan üzemanyagkészlettel feltöltve) a még a Minkowski-térnél is vadregényesebb Riemann-téren indul próbaútra. A Naprendszer szélén lebegve megcélozza az éggömb egyik sötét, galaxisoktól mentes pontját, aztán hegyibe! Útközben persze a személyzet érdeklõdéssel figyeli a Világegyetem érdekes tájait. Mit látnak az ûrhajósok az út során? Hogyan változik a galaxisok fényessége, eloszlása, a kozmikus háttérsugárzás szögeloszlása és hõmérséklete az irány függvényében? A kért adatokat az ûrhajó sajátidejében mérve számítsuk ki és ábrázoljuk! Adjuk meg a választ az Einstein-féle sztatikus, valamint a Fridman-féle zárt, nyílt, illetve euklideszi terû táguló Világegyetem esetén is! Mi lesz az ûrhajó sorsa a távoli jövõben?

(Dávid Gyula)

19.

Egyesek szerint a 2+1 dimenziós általános relativitáselméletben a kozmikus objektumok között nincs gravitációs kölcsönhatás. (Miért, a 3+1 dimenziós elméletben van?) Ha a fenti állítás igaz, akkor mi a csudáról szól egyáltalán a 2+1 dimenziós elmélet? Ha pedig nem igaz az állítás, akkor miért igaz mégis?

(Dávid Gyula)

20.

Határozzuk meg a következõ Hamilton-operátor sajátértékeit

$$\hat{H}= p_x^2 +x^2 +b(p_y^2+y^2) +c(xp_y -yp_x)!$$

(József Cserti)

21.

A spin mellett talán a határozatlansági reláció, $\Delta x \Delta p_x \ge \hbar$, stb. az, amire a legtöbbször utalnak úgy, hogy "tisztán kvantummechanikai jelenség, amelynek nincs klasszikus megfelelõje". A szárnyaló elméknek azonban ez ködösítésnek tûnhet, és felmerülhet az axiomatikus kvantummechanika eme bástyája ellen intézendõ támadás szükségessége. Talán nem is állnak olyan rosszul a dolgok, és a kvantum-klasszikus korrespondenciára éhezõ szépérzékünk végsõ soron nem sérül. A határozatlansági relációban egy tetszõleges A fizikai mennyiség átlagértéke körüli szórását kell kiszámítani:

$$\Delta A = {\left(\overline{A^2}- \overline{A}^2\right)}^{1/2}.$$

A kvantummechanika (QM) keretein belül a fent használt átlag (az egyszerûség kedvéért az egydimenziós esetben) a következõ integrált jelenti:

$$\overline{A}_{QM}= \int_{x_1}^{x_2} \, \Psi^*(x) A(x) \Psi (x) \, dx,$$

ahol $\Psi (x)$ rendszer normált hullámfüggvénye. A klasszikus mechanikában (CM) persze már bajosabb megadni azt, hogy mit érthetnénk ezen az átlagon, de munkahipotézisként - jobb híján - értelmezzük A átlagát az

$$\overline{A}_{CM}= \frac{\int_{0}^{t_0}A(t)\, dt}{\int_{0}^{t_0}\, dt},$$

idõátlaggal, aztán nézzük meg, hogy ezzel mire jutunk. Ahhoz, hogy ellenõrizhessük ennek a némileg merész választásnak a létjogosultságát, tekintsünk egy konkrét rendszert. Az $U({\bf r})= - \alpha/r$ vonzó centrális potenciálban történõ klasszikus mozgás (Kepler-probléma) és kvantumos mozgás (hidrogénatom) közti hasonlóságokra (pl. szimmetriák) már régen felfigyeltek; a részletek (pályák, hullámfüggvények, energiák, stb.) pedig jól ismertek.

Keressük meg a megfelelõ koordinátákat és változókat, majd számítsuk ki a szórásokat egy alkalmasan választott koordinátára és a hozzátartozó impulzusra nézve! Használjuk a fenti definíciókat (ha tudunk jobbat ajánlani, akkor hajrá...)! Van-e kapcsolat a klasszikus és a kvantummechanikai eredmények között? Lehet-e ezek alapján klasszikus határozatlansági relációról beszélni? Mit jelent itt az átlag klasszikus definíciója?

(Magyar Péter)

22.

Tekintsük a

$$H(q,p)=\sum_{i,j=1}^n \, g_{ij}(q) \, p^i p^j + \sum_{i=1}^n h_{i}(q) \, p^i+ f(q)$$

Hamilton-függvény által definiált rendszert, ahol $q=\{q_1,\cdots , q_n\}$ az általános koordináták összességét jelöli. Kvantáljuk a rendszert a

$$\begin{eqnarray*}p^i \mapsto \hat{p}^i =\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q_i}, && q_i \mapsto \hat{q}_i = q_i\cdot . \end{eqnarray*}$$

Schrödinger-féle elõírás szerint. Az operátorok sorrendjének határozatlanságát a

$$\langle \psi_1\psi_2 \rangle = \int \, \overline{\psi}_1\psi_2 \, d^n q$$

skalárszorzat szerinti önadjungáltság megkövetelésével szüntetjük meg.

Hogyan kell transzformálni a hullámfüggvényeket a $q_i \mapsto {q_i}^\prime$ általános koordinátatranszformáció során, ha azt akarjuk, hogy $\hat{H}$ kovariánsan transzformálódjon? Alkalmazzuk a fenti eredményeket a kétdimenziós harmonikus oszcillátorra Descartes- és polárkoordináta-rendszer-beli kvantálás esetén!

(Bajnok Zoltán)

23.

Az elektronok fermionok, így a Pauli-elv értelmében nem kerülhetnek azonos állapotba. A szupravezetõkben az elektronok párokba állnak össze (Cooper-párok), amelyek bozonok, és így azonos állapotba is kerülhetnek. Nincs itt ellentmondás? Indokoljuk a választ számítással!

(Bene Gyula)

24.

Vizsgáljuk meg, lehet-e koherens állapotokat értelmezni síkrotátor esetében! A harmonikus oszcillátor koherens állapotainak mely tulajdonságait lehet átmenteni, illetve mirõl kell lemondani? Mi az új koherens állapotok kapcsolata a léptetõ operátorokkal?

(Borsányi Szabolcs)

25.

Két bozon mozog egydimenziós, végtelen mély potenciálvölgyben (azaz V(x)=0, ha $0\le x \le a$ és $V(x)=\infty$ egyébként). Egymással merev gömbként ütköznek. Határozzuk meg az energia-sajátértékeket és az energia-sajátfüggvényeket!

(Bene Gyula)

26.

A csapdába zárt, Bose-kondenzálódó alkáli-atomok alacsony energiás gerjesztéseit a következõ sajátérték-probléma megoldása adja meg:

$$\omega_i^2 \phi_i ({\bf x})= \hat{G} \phi_i ({\bf x}) \equiv ... ...{\bf x}) \right) {\rm grad} \, \phi_i ({\bf x }) \right]\, ,$$

$$\int_V d^3 x \, \phi_i^* ({\bf x}) \phi_j ({\bf x}) = \delta_... ... \quad V=\left\{{\bf x}\vert \mu - U({\bf x})>0 \right\} \, .$$

A kísérletekben az $U({\bf x})$ potenciál

$$U({\bf x})={1 \over 2}m \omega_x^2 x^2 + {1 \over 2}m \omega_y^2 y^2+ {1 \over 2}m \omega_z^2 z^2$$

alakú, ahol $\mu > 0$ a kémiai potenciál, m az alkáliatomok tömege, $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$ a csapda jellemzõi, $\hbar \omega_i$ pedig a gerjesztések energiái. Milyen további, az x, y, z koordinátákat, illetve az azok szerinti deriváltakat tartalmazó, operátorok felcserélhetõk $\hat{G}$-vel?

(Csordás András)

27.

Fenntartható-e egy egyatomos ideális gázban ütközések nélkül, pusztán csak a részecskék szabad áramlásával a lokális egyensúly? A válasz erre a kérdésre meglepõ módon igen. Miért? Adjuk meg a fázistér $f(t,{\bf x},{\bf p})$ eloszlásfüggvényének, az $n(t,{\bf x})$ lokális sûrûségnek, a $T(t,{\bf x})$ hõmérséklettérnek és a ${\bf v}(t,{\bf x})$ sebességtérnek az idõfüggését egy ilyen ütközésmentes, lokálisan termalizált gázra!

(Csörgõ Tamás)

28.

A termionok - mint az 1996. évi Ortvay verseny óta tudjuk - olyan (hipotetikus) részecskék, amelyek igen gyorsan felveszik a környezet hõmérsékletét. Boltzmann szerint E=kT, Einstein szerint E=mc², szóval a termionok tömege mindig arányos a környezet lokális hõmérsékletével. Ezt nem kell bebizonyítani, ezt egyszerûen el kell hinni.

A termionoknak három fajtája van. A forronok szeretik a meleget, ezért rájuk a hõmérséklet gradiensével arányos erõ hat. A vacogonok ezzel szemben hidegkedvelõk, ezért a rájuk ható erõ az elõbbivel ellentétes irányú, bár nagyságra megegyezõ. A temperonok a szelid, langyos vidéket kedvelik, ezért rájuk a sebességük és a hõmérséklet-gradiens vektoriális szorzatával arányos erõ hat. (A számolás során az igényeknek megfelelõen további altípusokat is definiálhatunk.)

Tanács: a fellépõ sebességdimenziójú állandókat célszerû c-vel jelölni.

Vizsgáljuk meg a termionok egyik vagy másik fajtájából álló ideális gáz termodinamikáját! Vezzesük le a megfelelõ állapotegyenleteket!

Mi történik ha egy mozgó dugattyúval - a) eset: a dugattyú hõszigetelõ; b) eset: a dugattyú hõvezetõ - elválasztott henger két része két különbözõ termionfajtából álló gázt tartalmaz? Mi történik, ha megengedjük a kétféle gáz keveredését? Vizsgáljuk meg a rendszer mechanikai és termodinamikai stabilitását!

(Dávid Gyula)

29.

Az átlagtér-közelítés az Ising-modell megoldását egyetlen spin vizsgálatára egyszerûsíti: egy kiválasztott spint egzaktul tárgyalunk, miközben a kölcsönható szomszédokat átlagértékükkel helyettesítjük. Az a tény, hogy az Ising-lánc egzaktul megoldható, a közelítés kiterjesztését sugallja: a modellt kölcsönható láncok rendszerének tekintve, egy kiválasztott láncot egzaktul tárgyalunk, miközben a szomszédos láncok spinjeit átlagértékükkel helyettesítjük.

A két közelítés összehasonlítására számítsuk ki mindkét módon annak az Ising-modellnek az átalakulási hõmérsékletét, amelyben a spinek egy egyszerû köbös rács pontjaiban helyezkednek el, és a kicserélõdési együtthatók különbözõ értékeket vesznek fel az xy síkban és a z tengely irányában. A modell energiája

$$E=-\sum_{i,j,k} \left\{J_\bot (S_{i,j,k} S_{i+1,j,k} + S_{i,j... ...\Vert S_{i,j,k}S_{i,j,k+1}\right\} -H\sum_{i,j,k} S_{i,j,k} \ ,$$

ahol az i,j,k egész számok a rácspontok koordinátái, és $S_{i,j,k}=\pm 1$.

(Sasvári László)

30.

Tekintsünk egy egydimenziós láncot, amelynek mentén egymástól szabályos a távolságra egyforma $\it {{\bf S}}$ ($S \gg 1$) spinek helyezkednek el. A spinek (az elektronfelhõ alakjában megnyilvánuló atomi szimmetriák miatt) csak az x-y síkban tudnak forogni, azaz a lánc tengelyére (z-tengely) merõlegesen, a kialakuló struktúra pedig (T=0 hõmérsékleten, külsõ tér nélkül) egy (két szomszédos pont között) $\alpha$ szöggel elforduló spirál. Ez a modell helyesen írja le egyes ritkaföldfémek és átmenetifém-vegyületek alapállapotát, amelyekben ismereteink szerint a magspinek és a vezetési elektronok spinjei közti hiperfinom kölcsönhatásból származó hosszútávú (oszcilláló) kicserélõdési potenciál adja a Hamilton-operátor domináns részét.

Ennek értelmében írjuk a tökéletes spirál (kristálytér-effektusok, stb. elhanyagolásával egyszerûsített) Hamilton-operátorát a következõ formába:

$$H_{exc}= -S^2 \sum_{i,j} J_{ij} \cos (\phi_i - \phi_j),$$

ahol $\phi_i$ az $\it {{\bf S}}_i$ spin és az x-tengely által bezárt szög, J_ij pedig az $\it {{\bf S}}_i$ és $\it {{\bf S}}_j$ spinek kicserélõdési csatolását írja le (J_ii=0, J_ij=J_ji).

Ezek után képzeljük el, hogy egy bizonyos pontba egy az elõzõektõl kissé eltérõ $\it {{\bf S^\prime}}$ spinû mágneses szennyezõ kerül.

Gondoljuk át a szennyezõdés fizikai következményeit, majd számítsuk ki az újonnan kapott spirálnak az eredeti ideálishoz képesti $\delta_i$ torzulási szögét az összes i pontra nézve! Diszkutáljuk a kapott eredményeket!

(Magyar Péter)

31.

Csatlakoztassunk egy hõtartályhoz egy olyan, m tömegû részecskékbõl álló Fermi-gázt, melynek minden módusa azonos energiájú! Bármely két részecske között $\epsilon$ energiájú kölcsönhátás lép fel. Vizsgáljuk meg a rendszer termodinamikáját!

(Borsányi Szabolcs)

32.

Ideális Bose-gázt tart fogva a $V(\vec{r})=\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2 +\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2+\frac{1}{2}m\omega_3^2 z^2$ harmonikus csapdapotenciál. Határozzuk meg a Bose-kondenzáció kritikus hõmérsékletét és a kondenzátum részecskeszámának hõmérsékletfüggését!

(Bene Gyula)

33.

Sok esetben fontos az elektronikában (alakatrészekben, eszközökben) felhasználásra kerülõ anyagok elõzetes vizsgálata -- pl. nagyon alacsony, akár 1 K körüli hõmérsékleteken is. Az ideális esetekben az apró mintán keresztül az áram kontaktustól kontaktusig egyenletesen folyik, de gyártás tökéletlensége, valamint az elkerülhetetlen inhomogenitások és szennyezõk miatt egy ún. "disordered", azaz véletlenszerû, szimmetria nélküli $V({\bf r})$ szórópotenciál is megjelenik (a kristály szabályos, rácsperiodikus, az m^* effektív tömegen keresztül figyelembe vett $U({\bf r})$ potenciálja mellett), amely a teljes áram egy részét szabálytalan alakú és kiterjedésû csatornákba szorítja, míg más helyeken szinte alig halad át töltéshordozó. Ennek eredményeképpen a felszín alatt, valahol a minta belsejében térben korlátos szûk tartományokban extra disszipáció lép fel. Ezeknek az általában néhányszor tíz $\mu\rm m$ kiterjedésû disszipatív "szigeteknek" a megfigyelése technológiai szempontból igen fontos, ehhez pedig rendkivül érzékeny hõmérsékletmérésre van szûkség.

Na most jön a képzelet birodalma. Tegyük fel, hogy a laborunk csóró (...) és a hõmérõink egytõl egyig mind elavultak. Van azonban egy jó lézerünk, a csapból pedig ömlik a szuperfolyékony ⁴He. Ettõl szárnyakat kapunk, és elkezdünk gondolkodni... a szuperfolyékony ⁴He egy csomó érdekes tulajdonságot, jelenséget mutat ... ha ezek közül néhányat ki tudnánk használni felületi termográfiára, más szóval át tudnánk váltani a $\Delta T$-t $\Delta x$-re ... (Tegyünk így, becsszóra, lehet ...)

a) Találjuk meg az alkalmas kísérleti elrendezést, magyarázzuk meg a mérés elvét, és végezzünk néhány egyszerû konkrét számítást is!

b) Mi a (kitalált) módszer érzékenyége? Szükség esetén használjunk néhány realisztikus számadatot! A lézer mérési pontosságát (felbontás) vegyük kb. 1 $\mu\rm m$-nek!

(Magyar Péter)

34.

Különös lények élnek egy távoli kétdimenziós bolygón. Mindegyikük szívében egy kis antenna található, mely egy egységnyi hosszúságú ${\bf b}$ vektorral adható meg, ha a lény ébren van - alvó lény esetén pedig ${\bf b}=0$. Az ellentétes irányú ${\bf b}$ vektorral rendelkezõ egyedek nagy vonzalmat (a mi fogalmaink szerint szerelmet) mutatnak egymás iránt. Egy napon a bájos Antennova egy nagy kerek tó közepén levõ aprócska szigetre csónakázott, hogy virágot szedjen. Sajnos nem volt elég gondos, és csónakját elsodorta a víz. Szegény szomorúan és tétlenül üldögélt a szigeten, mivel nem tudott úszni. Abban reménykedett, hogy talán valaki arra jár, és segít neki. Már elég késõre járt, mikor megjelent a hõs Antennovics, aki melleseleg igen forrón imádta a bájos Antennovát. Mindkettõjük szíve megdobbant - ó minõ jelenet! Kár, hogy nem látta senki - hiszen a bolygón mindeki más mélyen aludt.

A hõs Antennovics nem habozott, és tüstént megpróbált segíteni a bajba jutott kedvesének. A baj csak az volt, hogy õ sem tudott úszni. Igen bosszankodott emiatt, még a fejét is elvesztette. Le-föl (pontosabban körbe-körbe) szaladgált a kerek tó mentén. E véletlenszerû "termikus tánc" csak a kettejük közti kölcsönhatástól és a külsõ hõmérséklettõl függ. A bolygó különös lakóinak életét már régóta tanulmányozták a kutatók, bevonva néhány fizikus hallgatót is. Az eddigi kutatási eredmények szerint a párok közötti ${\cal {H}}$ kölcsönhatást az alábbi egyszerû alakban adhatjuk meg

$$H= -\frac{{\cal {H}}}{k_{\rm B}T} = 2 K\left[\frac{1}{2}\left... ...dot \left( {\bf b}_2 \, {\bf r} \right) }{{{\bf r}}^2}\right],$$

ahol $k_{\rm B}$ a Boltzmann állandó, T a hõmérséklet, ${\bf r}$ a két lényt összekötõ vektor, míg ${\bf b}_1$, ${\bf b}_{2}$ a megfelelõ antennavektoruk és K a csatolási állandó. A kutatócsoport fizikus hallgatói a következõ ötlettel próbálták meghatározni az eddig még ismeretlen K csatolási állandót. Nagyszámú fényképfelvételt készítettek a hõs Antennovics helyzetérõl. A felvételekbõl meghatározták a párt összekötõ ${\bf r}$ vektort, majd elkészítették az <r_i r_j> átlagot (itt r_i az ${\bf r}$ vektor i-dik komponense). Feltették, hogy elegendõ felvétel áll rendelkezésükre, hogy a fenti átlagot a termodinamikai átlaggal helyettesítsék. Az egymás iránti - szemmel láthatóan - erõs vonzalom alapján azt is feltették, hogy a szerelmes pár antennavektorai ellentétes irányúak (az eddigi kutatások tanusága szerint ezt joggal gondolhatták).

A számításaik során gondok merültek fel, ezért az Ortvay versenyzõk segítségét kérik. Hogyan lehet a fentiek alapján meghatározni a K csatolási állandót? Meg lehet-e határozni e kedves pár antennavektorait?

(Cserti József)

35.

A Roland-hágó a francia Pireneusok egyik legmeglepõbb látványa: egy hatalmas sziklafalból jókora darab hiányzik (lásd az ábrát. A legenda szerint a hõs Roland itt csatázott a mórokkal, és közülük sok százat pazar kardjának élére hányt, ám egy idõ után érezte, hogy ereje kezdi elhagyni. Nem is az bosszantotta leginkább, hogy meg kell halnia, hiszen hõs volt (lásd fentebb), hanem az, hogy kardja az ellenség kezére juthat. Így hát összeszedte utolsó erejét, hogy kardját egy nagy sziklán kicsorbítsa -- és akkorát talált odasózni, hogy a francia Pireneusok csorbultak ki.

Szamítsuk ki, milyen fizikai következményekkel jár a fenti interpretáció!

(Piróth Attila)

$\backslash$end{document}