A 28. ORTVAY RUDOLF
FIZIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ VERSENY FELADATAI
1997

Beadási határidô: 1997. november 17. (hétfô) ,

Postacím: Dávid Gyula, Fizikus Diákkör, Gólyavár, Hallgatói Iroda, H-1088 Budapest, Múzeum körút 6-8. E-mailen LaTeX-formátumban a dgy@ludens.elte.hu címre küldhetôk a megoldások. Faxon a (1)-266-2556 számra lehet küldeni a megoldásokat.

A feladatok személyesen a Gólyavár ruhatárában adhatók le. A Mûegyetemen Kugler Sándornál, Szegeden Varga Zsuzsánál az Elméleti Fizikai Tansz.-en, vagy Hilbert Margitnál az Optikai Tansz.-en, Debrecenben Szabó Istvánnál, Pécsett Korpa Csabánál lehet leadni a megoldásokat.

A feladatok megoldása során bármilyen segédeszköz használható. Az értékelés évfolyamonként történik. Maximum 10 feladatot lehet beadni, mindegyik feladat 100 pontot ér. Minden feladatot külön lapon, név és évfolyam feltüntetésével kérünk. Azonos vagy közel azonos összpontszám esetén a díjazásnál elônyben részesül az, aki korosztályának megfelelô feladatokból válogatott.

A zsûri évfolyamonként nulla, egy vagy több elsô, második és harmadik díjat, valamint dícséreteket oszt ki. Ezekkel szponzoraink pillanatnyi adakozó kedvétôl függô pénzjutalom is jár, ennek mértékérôl jelenleg még nem tudunk nyilatkozni. Egyes feladatok kiemelkedô megoldásáért 1000 Ft-os különdíj adható. Már egy feladatért is kapható díj, tehát egy-két feladat megoldását is érdemes beadni!

A legeredményesebb versenyzôknek Diósi Lajos (KFKI) 15 000 Ft különdíjat ajánlott fel. Köszönjük!

A verseny eredményhirdetése Fizikus Mikulással egybekötve 1997. december 4-én 14 órakor kezdôdik az ELTE TTK D épületének Nagytermében. Az egyes feladatok legjobb megoldóit elôre felkérjük, hogy megoldásukat az eredményhirdetés után ismertessék.

Minden résztvevônek jó versenyzést, tanulságos és eredményes feladatmegoldást kíván

az ELTE TTK Fizikus Diákköre és

a Magyar Fizikus Hallgatók Egyesülete

1. Ó napsugár... Hárman állnak a mezô közepén, valahol a tökéletes gömb alakú Földön, és a Nappal szembenézve süttetik arcukat. Csak hát semmi sem tarthat örökké, és még a Nap is elmozdul az égen. Napimádóink elindulnak hát a Nap nyomában úgy, hogy sebességvektoruk mindig az árnyékukkal ellentétes irányba mutat. Állóképes Vili sohasem fárad el, az ô sebességének abszolút értéke mindig állandó. Búsuló Lajos viszont hamar rájön, hogy a Napot úgysem fogja utólérni, elcsügged, és amint árnyéka hosszabbodni kezd, annak hosszával fordított arányban csökkenti sebességét. Csakazértis Józsi ezzel szemben egyre dühösebb és gyorsabb lesz: sebessége egyenesen arányos árnyéka pillanatnyi hosszával.

   Milyen pályát ír le a három napimádó (A, B és C) a földgömbön?

   Diszkutáljuk a megoldást a kezdôpont földrajzi helyzete, az indulás napja és perce, a kezdôsebesség, valamint (B és C esetében) a sebességfüggvény együtthatója szerint. Vizsgáljuk meg a mozgások lehetséges típusait és végállapotait! (Az egyszerûség kedvéért tegyük fel, hogy vándorainknak a tengerek sem jelentenek akadályt.)

   (Barnaföldi Gergely - Dávid Gyula)

2. Tûzvarázsló halászlevet szeretne vacsorára, ezért egy tûzgömböt hoz létre a tó fenekén. Mi történik? (Tûzgömb: olyan kb. 1 m átmérôjû tartomány, amelyben hirtelen [kb. 1 másodperc] alatt, egyenletes térbeli eloszlásban annyi hô keletkezik, amennyi [lassan adagolva] a víz felforralásához és elpárologtatásához bôven elegendô lenne, de a molekulák ionizációjához kevés.)

   (Csilling Ákos)

3. Sommerfeld parítássértô bicskája: Ha egy kavicsot domború felével lefelé fordítva az asztalra helyezünk és bármelyik irányban megpörgetjük, a kavics általában simán lelassulva áll meg. Ritkán, speciális alakú kavics esetén azonban megtörténhet, hogy egyik irányú forgásából visszafordul a kavics, ellenkezô irányban kezd forogni, és csak azután áll meg. Ma már a játékboltok kínálatában találkozhatunk mûanyagból készült speciális alakú "kavicsokkal", és állítólag Sommerfeld bicskája is képes volt erre a mutatványra. Adjunk fizikai magyarázatot a jelenségre, s vizsgáljuk meg, létezhet-e olyan test, amely az asztalon megpörgetve MINDKÉT irányból képes visszafordulni! (Radnai Gyula)

4. Mekkora lehet az az egysejtû, amit egy másik sejt (makrofág) be tud kebelezni? A makrofág közlítôleg 60% folyadékot, és 40% szárazanyagot tartalmaz. A szárazanyagtartalom a sejten belül csak apró gömbök formájában létezhet. Egy gömb térfogata nem lehet kisebb a makrofág teljes térfogatának 5 ezrelékénél. A bekebelezés állábak kibocsátásával történik. Az álláb-képzés az összfelületnek maximum 5%-a lehet.

   (Horváth Anna)

5. (A feladat kapcsolódik az 1997-es Eötvös-verseny egyik feladatához.)

   Egy asztal szélén álló pohárban hajlékony fonálra fûzött hosszú gyöngysor van. Ha a lánc elejét kilógatjuk a pohár falán, gyorsuló mozgásba kezd, és kihúzza maga mögött a lánc további részét is a pohárból. A kísérletek szerint egy idô után a láncnak a pohár peremén átbukó része megemelkedik, és magasan a perem fölött fordul át. Vizsgáljuk meg a mozgást, az energiaviszonyokat, a fellépô erôket, és magyarázzuk meg a lánc megemelkedését!

   (Gnädig Péter)

6. Pezsgôtablettát vízbe dobunk. Adjuk meg a tabletta méretét az idô függvényében!

   (Horváth Anna)

7. Homogén gravitációs térben egy nyújthatatlan, két végén rögzített lánc lóg. Tanulmányozzuk a láncon terjedô zavarokat, írjuk fel a hullámegyenletet minél kezelhetôbb alakban, és adjuk meg a diszperziós relációt! Vizsgáljuk a különbözô gerjesztettségû állapotokat, és adjuk meg közelítôleg a hozzájuk tartozó frekvenciákat! (A láncot csak a nyugvó görbe függôleges síkjában gerjesztjük.)

   (Borsányi Szabolcs)

8. Becsüljük meg a Föld szögsebességének évszakos változását! Milyen hatásoknak tulajdonítható ez? Hogyan változhatott az ingadozás az elmúlt százmillió évben? És mekkora lesz egy-kétszáz év múlva, az üvegház-hatás kibontakozása után?

   (Dávid Gyula)

9. Helyezzünk el egy egyenes mentén három egyforma rugalmas golyót. Nyomjuk meg tengelyirányban a két szélsôt, úgy, hogy azok a középsôt összeszorítsák.

   a/

   Vizsgáljuk a nyomóerô-elmozdulás kapcsolatot!

   b/

   Kényszerítsünk a középsô golyóra a tengelyre merôleges kis elmozdulást, ezáltal nyírást vezetve be a kontaktusoknál. Írjuk le a rendszer mozgását! Különös gondot kell fordítani a golyók érintkezéseinél a határfeltételekre.

   (Kertész János)

10. Egy R sugarú, M tömegû, L hosszúságú ( ) tûzoltófecskendôt vízszintes talajon sebességgel elgurítunk olymódon, hogy a végét megfogjuk. A fecskendô egyre fogyó sugarú, egyre kisebb tömegû, de egyre nagyobb sebességû gurigaként mozog. (A súrlódási és közegellenállási veszteségek elhanyagolhatók, emellett a gravitációt is figyelmen kívül hagyhatjuk, mert .) Használjuk az egységrendszert!

    Számítsuk ki a guriga tömegét, sugarát és sebességét a megtett x út függvényében, valamint a gurigára ható külsô erôket! Igazoljuk, hogy

    

    ahol és az erô sebességgel párhuzamos, ill.\ arra merôleges komponense.

    Vizsgáljuk meg a perdület megmaradásának tételét a fecskendô rögzített végpontjára vonatkoztatva!

    (Gnädig Péter)

11. Erôs fiúk kellô számú sör elfogyasztása után a söröskupakot hüvelyk- és mutatóujjuk közé fogva azt könnyedén össze tudják nyomni. Becsüljük meg, hogy mekkora erô szükséges ehhez a mutatványhoz! (A kupak peremén levô recéktôl szükség esetén tekintsünk el. Ha másképp nem megy, a kupakot lapos koronggal is modellezhetjük.)

    (Cserti József)

12. A hallás létrejöttéig a hanghullámoknak át kell alakulniuk kémiai jelekké. Mekkora a hanghullámok felerôsödése, illetve halkulása a belsô fülben, ha levegô-membrán-csont-csont-csont-membrán-víz a hullám terjedési útja? Milyen hangerôsségnél kell megszakítani a sort, hogy ne jöjjön létre rezonancia? (A geometriai elrendezésrôl lásd. pl. Dr. Ribári Ottó: Fül-orr-gége gyógyászat, a mechanikai tulajdonságok leírásához jó közelítés, ha a membránt gumihártyának, a csontot vízkônek tekintjük.)

    (Horváth Anna)

13. A laposlápi önkormányzat új attrakciót készül felállítani a helyi vidámparkban: a Laposlápi Lengô Liftet. A tervek szerint az LLL abban különbözne a hagyományos felvonóktól, hogy (1) nincs liftaknája, így a kabin - amint az a névbôl sejthetô - a föl-le liftezés mellett szabadon lenghet is, ezenkívül (2) motor sem lesz benne, a menetek lefolyása a lengô liftkabin és a csak függôlegesen mozgó ellensúly közötti kötélhúzásban dôl majd el. (A függôleges tartószerkezet csak egy lengési síkot tesz lehetôvé a kabin számára.) A gondok akkor kezdôdtek, amikor a részletes mûszaki terv kidolgozását egyik ismert felvonógyártó cég sem vállalta, ezért az önkormányzat most szélesebb körbôl várja a rendszer biztonságos üzemeltetéséhez szükséges alapvetô számítások elvégzését. A legfontosabb kérdések a következôk:

    a/

    Hány utasra tervezzék a kabint, ha az ellensúly tömege adott?

    b/

    Az állványon lévô, lépcsôn megközelíthetô pneumatikus indító- és fékezôszerkezet, amely a beszállás idejére rögzíti is a rendszert, csak egy adott (vízszintes irányú) kezdôsebességgel képes meglökni a függôleges helyzetû kabint. Milyen tartományban kell lennie az indítómagasságnak a rendszer biztonsága szempontjából? (A drótkötél hossza megegyezik az állvány magasságával.) Milyen lesz a menet jellege az indítómagasság függvényében?

    c/

    Milyen hosszú meneteket enged meg az a körülmény, hogy a lefékezést csak az indítómagasságban lehet elvégezni?

    d/

    Kell-e az utasokat óvni a fejreeséstôl a menet ideje alatt? Átpördülhet-e a kabin?

    e/

    Mekkora maximális feszítôerôre méretezzék a drótkötelet? Bízhatnak-e abban, hogy a kötél végig feszes marad?

    A biztonsági szempontok mellett természetesen szem elôtt kell tartani a gazdaságosságot is: sok embert vonzó változatos menetekre lenne szükség. A rendszer olajozott mûködését a képviselôtestület egyik tagja, a helyi benzinkutat is üzemeltetô nyugalmazott ezredes garantálná. Az önkormányzat minden részeredményt hálásan fogad.

    (Kovács Zoltán)

14. Egy jógi légzôgyakorlat közben a következô mentális technikát gyakorolja:

    "Belégzésnél a test kitágul, kilégzéskor a test összehúzódik. Minden belégzéskor a környezô levegô az orrnyílásom felé mozdul, minden kilégzéskor pedig az ellenkezô irányba."

    a/

    Becsüljük meg, hogy a jógitól adott távolságban lévô levegô mennyit mozdul el a belégzéskor-kilégzéskor!

    b/

    Milyen távolságban válik ez az elmozdulás megmérhetetlenül kicsivé?

    c/

    Hogyan befolyásolja az elmozdulást a test belégzéskori tágulása, kilégzéskori összehúzódása?

    (Márk Géza)

15. a/

    Megnyitjuk a melegvíz-csapot, mert zuhanyozni szeretnénk. A víz egy elég hosszú, falba épített csövön jön egy távoli melegvíz-tartályból. Elôttünk régen nem fürödtek, és a csôben levô víz már felvette a környezet 10 C-os hômérsékletét. Mi lesz a víz hômérsékletének idôfüggése a csap megnyitása után, ha a vízáram konstans?

    b/

    Mi történik, ha a fal (amiben a csô jön) hômérsékleteloszlása nem konstans, hanem egy rövid szakaszon 10 helyett csak 0.001 C fokos?

    c/

    Nagyon sokáig folyatjuk a meleg vizet. (Feltesszük, hogy a melegvíz-tartály végtelen nagy.) Ezután persze a víz túl forró, ezért megnyitjuk a hideg vizet, amihez utána nem nyúlunk. Ekkor elkezdünk játszani a melegvízzel: a csapot a következô idôfüggvény szerint forgatjuk: . A csapból folyó víz mennyisége arányos a szögelfordulással. Mi lesz a kifolyó víz hômérsékletének idôfüggése?

    (Veres Gábor)

16. Vezessük le a 2 dimenziós szappanhabban (sok, egymással érintkezô buborék) egy buborék területének idôbeli fejlôdését leíró Neumann-egyenletet:

    

    ahol egy n oldalú buborék területe, k a diffúziós konstans, n az oldalak száma. Adjuk meg az f függvény konkrét alakját! Mennyi az oldalszám kritikus értéke? (Daruka István)

17. Egy edényben folyadék van. Az edény forgásszimmetrikus, de a fala nem merôleges az edény aljára. Határozzuk meg a nyugvó folyadék felszínének alakját! (Csak forgásszimmetrikus megoldásokat keressünk!)

    (Farkas Zénó)

18. Egy asztalon álló edényben víz van, az edény aljából csô vezet az asztal mellett álló, szekrény nagyságú fekete doboz belsejébe. Ha az edénybe még egy kis vizet öntünk, az eredeti folyadékszint lecsökken. Ha viszont kimerünk némi vizet az edénybôl, a szint megemelkedik.

    Mi van a fekete dobozban? Állítsunk fel minél egyszerûbb modellt, és adjuk meg a vízszint változását a beöntött vagy kimert vízmennyiség függvényében! Változtassuk a modell paramétereit, és vizsgáljuk meg a rendszer viselkedését!

    (Közli: Csákány Antal)

19. Von Mises szerint egy izotróp szilárd anyag képlékeny megfolyásának feltétele a következô:

    

    ahol a feszültségtenzor spurtalan része: a K pedig adott anyagi állandó.

    Tresca szerint viszont a képlékenységi határt a feszültségtenzor sajátértékei határozzak meg. A feltétel a legnagyobb és a legkisebb sajátértékkel a következô alakba írható:

    

    Mutassuk meg, hogy két dimenzióban Tresca és von Mises feltétele azonos kritériumot ad! Keressünk továbbá olyan deformációt, amelyet alkalmazva kisérletileg el lehet dönteni, hogy az anyag melyik feltételt követi!

    (Tichy Géza)

20. Egy nagy edény v´izben a falaktól távol létrehozunk egy gömb alakú sugarú üreget (buborék) melyben vákuum van. A külsô légnyomás .

    a/

    Írjuk le az üreg falának viselkedését!

    b/

    Hogyan mozog az üregben egy kezdetben radiális sebességû 'könnyû', a fallal rugalmasan ütközô részecske?

    c/

    Hogyan módosul a helyzet, ha a buborékot kezdetben nyomású gáz tölti ki, a külsô nyomás pedig szerint változik? Mekkora lesz a minimális buborékméret? Hogyan változik a gáz hômérséklete?

    (Csabai István)

21. Amikor a szôlôfürtöt megmossuk, még elég sok víz tapad meg (a felületi feszültség miatt) benne, amit késôbb óvatos rázogatással eltávolíthatunk. (Természetesen a szôlôszemeket nem sértjuk meg.) Mennyi víz és hogyan maradhat ezután benne? Modellezzük a szôlôfürtöt egyforma sugarú, rögzített gömbökkel, amelyekkel a lehetô legsûrûbben van kitöltve a végtelen tér, és a fürt mást (pl. a szôlôszemeket tartó vázat) nem tartalmaz. Milyen feltételekkel és mennyi víz maradhat ebben a szerkezetben? (Megköveteljük, hogy a "víztócsa" legyen "összefüggô").

    Van-e szerepe az elhanyagolt váznak a reális szôlô esetében? Van-e szerepe a szemek méretének? Javaslat: Próbáljuk megfigyelni a jelenséget kísérletileg is!

    (Veres Gábor)

22. Közismert dogma, hogy a megmaradási tételek szimmetriák következményei. Speciálisan a klasszikus térelméletben minden folytonos szimmetriának egy megmaradó mennyiségre felírható kontinuítási egyenlet felel meg. Milyen szimmetria következménye a hidrodinamika közismert kontinuítási egyenlete ?

    (Dávid Gyula)

23. Forgassunk egy tömegeloszlású, L hosszúságú k rugalmassági állandójú, egydimenziósnak tekintett rudat szögsebességgel a hossztengelye körül. Mint az köztudomású, egy bizonyos szögsebesség fölött a rúd "kihajlik", stabil egyensúlyi helyzete többé nem a két végpontját összekötô egyenes lesz.

    Határozzuk meg ezt az szögsebességet!

    Útmutatás: Írjuk föl a rendszer Green-függvényét, és nézzük át az integrálegyenletek elméletét!

    (Hantz Péter)

24. Adjunk meg olyan kísérleti eljárást, amellyel a fény terjedési sebességét a tér két pontja között nem egy oda-vissza úton mérhetjük meg, hanem csak egyetlen irányban! Esetleg mutassuk meg, hogy ez lehetetlen! Fejtsük ki továbbá, hogy milyen hatással van ez a probléma a relativitáselméletre!

    (Szabó László)

25. A relativisztikus hidrodinamikában disszipatív folyamatok jelenlétében a (nyugalmi) sûrûség önmagában nem elégíti ki a kontinuítási egyenletet, csak akkor, ha egy másik, a négyessebességre merôleges vektort is hozzáadunk. Mi lehet ennek a fizikai jelentése? A kontinuítási egyenletet szokás az anyagmegmaradás törvénye matematikai alakjának tekinteni. Talán esetünkben nem teljesül a megmaradási törvény?

    (Dávid Gyula)

26. Madách idejében még úgy gondolták az emberek, hogy a Nap melegét a benne elégô szén biztosítja. A Nap tömegébôl és a kiáramló hômennyiségbôl kiszámították, hogy a Nap további ötezer évig fog világítani. Becsüljük meg, hogy valójában mennyi ideig tart egy ekkora méretû és tömegû test kihûlése az energiatermelô folyamatok leállása után!

    (Veres Gábor)

27. Egy töltés elektrosztatikus térben mozog. A tér sok véletlenszerû elektromos tér szuperpozíciójából alakul ki, melyeket egymástól független források hoznak létre. Mekkora annak a valószínûsége, hogy a töltés által kisugárzott fény legalacsonyabb frekvenciája és közé esik? Tegyük fel, hogy a töltés csak síkban mozoghat!

    (Pollner Péter)

28. Legyenek es sztatikus, forrásmentes elektromos, illetve mágneses mezôk -on, melyek (végtelen) sokszor differenciálhatóak. Tegyük föl továbbá, hogy teljesítik a következô (Bogomolny-)egyenletek valamelyikét:

    

    Bizonyítsuk be, hogy amennyiben ezek az egyenletek egy véges energiájú konfigurációt írnak le, akkor és !

    Útmutatás: vizsgáljuk a mezôk végtelenbeli csavarodását!

    (Etesi Gábor)

29. Számoljuk ki a klasszikus ideális gáz állapotösszegét, és ugyanezt N db független síkrotátorra is! Határozzuk meg az entrópiát!

    Miért kell a két esetben különbözô módon normálnunk, hogy extenzív potenciált kapjunk?

    (Pollner Péter)

30. Mint tudjuk, a gáz kitölti a rendelkezésére álló teret. Speciálisan: ha egy edény egyik felét megtöltjük gázzal, a másik fele pedig üres, és eltávolítjuk az elválasztó falat, akkor a gázmolekulák hamarosan egyenletesen töltik be az edény mindkét felét. A statisztikus mechanika ezt hagyományosan úgy magyarázza, hogy azt a makroállapotot, amelyben az edény mindkét részében van gáz, jóval több mikroállapot valósítja meg, mint az aszimmetrikus eloszlást, ezért az elôbbi jóval valószínûbb.

    A kvantummechanikában azonban a részecskék megkülönböztethetetlenek. Az az állapot tehát, amelyben csak az edény egyik felében van gáz, éppen úgy egyetlen kvantumállapot, mint az a másik, amikor egyenletes az eloszlás az egész edényben, hiszen az egyes részecskék puszta csereberéje nem vezet új állapothoz. A statisztikus fizika hagyományos érve tehát elesik. Miért tapasztaljuk mégis, hogy - kvantumelmélet ide, Pauli-elv oda - a gáz mégiscsak betölti a teljes edényt?

    (Gnädig Péter)

31. A klasszikus mechanika viriáltétele összefüggést állapít meg egy korlátos mozgást végzô rendszer kinetikus és potenciális energiájának idôbeli átlagértéke és a teljes energia között. Különösen egyszerû az összefüggés olyan kölcsönhatási potenciál esetén, amely a távolságnak n-edfokú homogén függvénye (Landau I. kötet).

    Hasonló képlet érvényes a kvantummechanikában, de nem idôbeli átlagra, hanem várható értékre pl. a hidrogénatom esetén (Constantinescu-Magyari: Kvantummechanika feladatok, III/8. feladat).

    Vizsgáljuk meg a kételektronos héliumatom esetét, ahol mindhárom részecskepár között n = -1 fokú homogén potenciál közvetíti az elektromos kölcsönhatást. Fennáll-e a viriáltétel? Hogyan befolyásolja a viszonyokat a kvantummechanikára jellemzô ún. kicserélôdési kölcsönhatás?

    (Györgyi Géza - Dávid Gyula)

32. Modellezzük a menekülô ûr-légy mozgását!

    A MIR ûrállomáson a legújabb galibát egy légy okozza. Ez komoly gondot okoz az ûrhajósoknak, mert zavarja ôket munkájukban. Ezért is kérik az ortvayzók segítségét. A légy mozgását a videofelvételek alapján a következô jellemzi: a légy a súlytalanság állapotában semmilyen kitüntetett irányt nem képes érzékelni (se a gravitációs, se a mágneses tér nincs hatással mozgására). A légy - érthetôen - pánikhangulatban van, ezért maximális (és mozgása során állandó nagyságú) sebességgel repül. Mozgásának irányát csak a gondolataiban lejátszódó zavaros folyamatok befolyásolják. Ezekrôl csak annyit tudunk, hogy azok az idôben "egyenletesen zavarosak" (a légypszichológia meg gyerekcipôben járó tudomány).

    a/

    Írjuk le a légy mozgását!

    b/

    Jellemezzük a légy mozgásának pályáját!

    c/

    Hogyan tudnánk a mozgás leírása során figyelembe venni a falakat?

    d/

    Az ûrhajósok megelégelik az udvariatlan állatot, és megállapodnak abban, hogy a legyet a zsilipkamrába zárják (ezt egy viszonylag keskeny rés zárja el az ûrhajó többi részétôl, a rés nyitható-zárható). A t=0 idôpontban a legyet a zsilipkamra > ajtajának közelében látták. A mozgás kvantitatív jellemzése alapján úgy gondolják, a légy bizonyos idôpontokban valószínûbben tartózkodik a zsilip közelében. Meg tudjuk-e állapítani modellünk pillanatnyi állása szerint, melyek ezek az idôpontok?

    (Alács Péter)

33. Egy négyzet mindegyik sarkában egy-egy spin ül, melyek között csak elsôszomszéd kölcsönhatást feltételezve a rendszer Hamilton függvénye (klasszikus rendszer)

    

    ahol , és mindegyik spin egységnyi hosszúságú, azaz

    

    Határozzuk meg a rendszer alapállapotát az paraméter függvényében! Mennyi alapállapotban a rendszer energiája, ill. a mágnesezettsége?

    (Cserti József)

34. Vizsgáljuk meg a

    

    Hamilton-függvénnyel leírt egydimenziós mechanikai rendszer klasszikus és kvantummechanikai viselkedését, mozgásait, energiasajátállapotait, spektrumát. Fordítsunk nagy gondot a Hamilton-operátor megkonstruálására!

    (Bajnok Zoltán)

35. A parciális hullámok módszere a centrális potenciálon történô rugalmas szórás kvantummechanikai problémáját az egyes parciális hullámok (impulzusmomentum-sajátállapotok) aszimpotikus alakjából kiolvasható fáziseltolódások segítségével írja le. Létezhet-e olyan V(r) centrális potenciál (persze a triviális, azonosan nulla potenciálon kívül), amelyben (rögzített energián) az összes parciális hullám fáziseltolódása nulla, azaz a rendszer szupertranszparens?

    (Dávid Gyula)

36. Határozzuk meg a fullerén-molekula (C ) energiaszintjeit szoros kötésû elektron közelítésben! A modellben tegyük fel, hogy az atomtörzsek térben úgy helyezkednek el, mintha egy fullerén-molekula atomjai lennének, és erre a rendszerre ráteszünk egy elektront. A Hamilton-operátor a következô:

    

    ahol jelöli azt az állapotot, amelyben az elektron az i-ik atomhoz kötôdik, továbbá ha i és j szomszédos atomokat jelöl, egyébként 0. A feladatot a molekula szimmetriáinak felhasználásával oldjuk meg! Mit mondhatunk az egyes energiaszintek degeneráltsági fokáról? (A megoldást numerikus módszerekkel ellenôrizhetjük!)

    (Farkas Zénó)

37. Tekintsük a következô ún. dekoherencia-modellt, amely a makroszkopikus testek klasszikus tulajdonságait kívánja a kvantummechanikából levezetni:

    Egy dimenzióban mozog egy M tömegû pontszerû részecske, mellyel n db m tömegû, ugyancsak egy dimenzióban mozgó részecske ütközik. Legyen (pl. gázatomok ütköznek egy nagy tömegû részecskével - Brown-mozgás). A könnyû részecskék egymással nem hatnak kölcsön, a nehéz és a könnyû részecskék kölcsönhatását pedig közelítsük merevgömb-potenciállal. A könnyû részecskék kezdeti hullámfüggvénye legyen

    

    ahol konstans, a j-edik részecske koordinátája. A nehéz részecske kezdeti hullámfüggvénye .

    Számítsuk ki a nehéz részecske redukált sûrûségmátrixát! (ld. Landau: Elméleti fizika III.) Tételezzük fel, hogy a nehéz részecske megfigyelhetô tulajdonságait redukált sûrûségmátrixának sajátállapotai, azaz az

    

    egyenlet megoldásai írják le. Számítsuk ki ezeket a függvényeket és elôfordulásuk valószínûségét, ha

    a/

    

    ahol és , azaz két keskeny, egymástól távol levô Gauss-függvény szuperpozíciója,

    b/

    

    ahol , azaz egyetlen széles Gauss-függvény.

    Számítsuk ki a függvényeket impulzusreprezentációban is! Összhangban vannak-e a modellbôl levonható fizikai következtetések a tapasztalattal?

    (Bene Gyula)

38. Alacsony hômérsékleten a nanométeres átmérôjû, tiszta vezetô szálak vezetôképessége kvantált. Egy végtelen hosszú, egyenes vezeték vezetôképességét a következô képlet adja meg:

    

    ahol e az elektron töltése, h a Planck-állandó, N pedig az Fermi-energián nyitott csatornák száma. A nyitott csatornák a Schrödinger-egyenletnek a drótban terjedô hullámokat leíró energiájú megoldásai:

    

    ahol z a dróttal párhuzamos, x és y pedig a rá merôleges koordináta. A hullámszám az n és m kvantumszámoktól függô, valós érték. A hullámfüggvény a dróton kívül és a drót felületén eltûnik. Számítsuk ki a kör és a négyzet keresztmetszetû vezeték vezetôképességét a Fermi-energia függvényében! Az elektronok közti kölcsönhatást az effektív tömeggel vesszük figyelembe, ezért az elektronok szabadnak tekinthetôk.

    (Vattay Gábor - Cserti József)

39. Tekintsünk egy kétdimenziós kvantummechanikai rendszert, melynek potenciálja a következô alakú:
    , ahol x és y a két síkbeli koordináta.

    Mekkora lesz a rendszer vezetôképessége, ha úgy képzeljük, hogy az elektronokat a potenciálvályú egyik végén (kvázi ) beengedjük, és azt vizsgáljuk, hogy a másik végére (kvázi ) hány jut el? Ekkor a hullámfüggvényt úgy kereshetjük, mint egy (x irányban) haladó hullám és egy keresztirányú (y irányú) módus szorzatát: . Azt mondjuk, hogy az elektron az r-ik csatornában van, ha a keresztirányú hullámfüggvénye éppen . A megoldáshoz használjuk fel a Landauer-formulát, amely az átjutási valószínûségek (transzmissziós mátrixelemek: ) és a vezetôképesség között teremt kapcsolatot. (A elemek azt mondják meg, hogy az n-ik csatornába engedett elektron milyen valószínûséggel szóródik át az m-ik csatornába.)

    A feladat megoldásához használható az alábbi internet-oldalon található angol, illetve magyar nyelvû irodalom is:

    http://galahad.elte.hu/ gegix/publ.html

    (Szálka Gergely)

40. Ha a LEP gyorsító alagútjában építenének egy müon-gyorsítót, mekkora hátteret észlelnének a Gran Sasso neutrínó-detektorban?

    (Csilling Ákos)

41. Mint tudjuk, az arisztotelészi mechanika mozgásegyenlete a következô alakú (lett volna, ha akkoriban már ismerik a differenciálegyenleteket):

    

    ahol a részecske helyvektora, az függvény, az ún. hipoerô pedig a környezet hatását írja le. Ilyen hatás hiányában az egyenlet megoldása , azaz a testek természetes állapota a nyugalom. Galilei óta a Newton-törvény van hatályban:

    

    ahol a közismert erô: azóta az erômentes testek természetes állapota az egyenes vonalú egyenletes mozgás:

    A XXI. század hajnalán újabb forradalom következik. J. B. Curcas és Lee ben Canal, a messewani egyetem kutatói nemrégiben publikalták [X Files, 42 (1997) p. 137.] az ún. Newerton-törvényt:

    

    ahol az ún. hipererô, amely a környezet hatását írja le.

    Vizsgáljuk meg az egyenlet következményeit! Vezessük le a közismert megmaradási tételek megfelelôit! Keressünk megoldásokat néhány egyszerû esetben, azaz a jobboldalon szereplô hipererô-függvény speciális választása esetén (javaslatok: szabad mozgás, szabadesés, harmonikus oszcillátor, hidrogénatom...)! Vizsgáljuk meg a gyorsuló koordinátarendszerekben fellépô inerciaerôkre vonatkozó közismert levezetés megfelelôjét az új idôk mechanikájában, és értelmezzük a fellépô inercia-hipererôket! Próbáljuk kidolgozni a Lagrange- és a Hamilton-formalizmus új változatát, írjuk fel a Hamilton-Jacobi-Curcas egyenletet és a Poisson-Canal zárójeleket! Tegyük meg az elsô lépéseket az új mechanika speciális (hiper-)relativisztikus és kvantumelméleti kiterjesztése irányába! Öregebbek felírhatják a hiper-Schrödinger egyenletet is (esetleg meg is oldhatják)...

    (Dávid Gyula)

42. Gólyatábor... N fizikus fiú és N bölcsészlány ül a pislákoló tábortûz mellett - nem messze tôlük N darab, szigorúan koedukált kétszemélyes sátor. A sátorbeosztás feladata Kvark Egonra vár.
    Ismeretes, hogy mindenki átlagosan m másik nembelivel hajlandó egy sátorban aludni - de hogy ki kivel, azt csak a jó Egon tudja. Hogyan válasszuk meg az m(N) függvényt, hogy Egonnak esélye legyen a mindenkit kielégítô sátorbeosztás elkészítésére? Adjuk meg m(N) aszimptotikus viselkedését, ha .
    Adott N mellett definiáljuk az "Egon felsül - Egon nem sül fel" átmenet szélességét (f(N)). Hogyan változik f(N), ha ?

    (Piróth Attila)

end{document}

• About this document ...